Pavel Alaev (alaev) wrote,
Pavel Alaev
alaev

44. О теории множеств

Беседуя на нашем университетском форуме с коллегой об этой теории, понял одну вещь, которую захотелось даже поместить в Жужу, на память. Она не очень сложна, и в ней есть что-то пост-рождественское.

Современная теория множеств построена на двух фундаментальных основаниях - исчислении предикатов первого порядка (ИП) и аксиомах теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), которые формулируются на языке ИП. Сила этого подхода состоит в том, что ИП даёт предельно строгий и формальный способ выводить из ZFC нужные нам теоремы, и мы можем получить таким образом почти всё, что интересует математиков.

Иногда даже считают, что в ZFC слишком много аксиом, и не все из них в достаточной степени обоснованы - какие-то можно отбросить.

Но это вовсе не мешает нам задаться вопросом о том, как мы можем расширять возможности теории множеств. Делать это, очевидно, можно двумя способами - добавлять к ZFC новые аксиомы, оставаясь в рамках ИП, или расширять само ИП, переходя к более мощным логикам.

Первый сложен тем, что новые аксиомы нужно как-то обосновывать, а поскольку ZFC и так достаточно велика, эта задача непроста. Зато второй может показаться лёгким и перспективным: сейчас известно довольно много новых логик, и в каждой из них можно попробовать что-то придумать. Но это иллюзия: если в некотором расширении ИП+ мы сформулировали новые аксиомы ZFC+, то возможны два варианта:

1. В новой системе мы сможем доказать какое-то утверждение A из обычного ИП, которое не доказуемо в рамках ZFC. Тогда мы столкнёмся с той же самой проблемой - законность появления этого A нужно как-то обосновывать.

2. Такого A не существует. И тогда не совсем понятно, зачем нам нужна ещё одна логика - всё равно те понятия, которые нас интересуют, формулируются в рамках ИП, и мы по сути не узнаем о них ничего нового.

Это означает, что пара ZFC+ИП обладает определённой замкнутостью - чтобы бы мы ни придумывали, мы так или иначе возвращаемся к ней снова.

Впрочем, есть одно утверждение, добавить которое к ZFC было бы вполне разумно - то, которое выражает её собственную непротиворечивость, Consis(ZFC). Оно, как известно, в самом ZFC не доказуемо. Если бы удалось как-то создать исчисление, которое содержало бы ZFC, Consis(ZFC), и в котором его собственная непротиворечивость могла бы быть доказана, это было бы очень интересно. Может быть, для этого нужно отказаться от чисто финитарных методов построения выводов.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 2 comments